Лекция 11. Задача Дирихле для внешности круга и полуплоскости

Формулировка внешней задачи Дирихле на плоскости имеет некоторые особенности. Напомним эту формулировку. Пусть D - плоская ограниченная область, граница которой - замкнутая кривая Г. Обозначим через неограниченную область, границей которой также является кривая Г (см. рис.21).

Рис. 21

Внешняя задача Дирихле ставится следующим образом: требуется найти функцию U , удовлетворяющую условиям:

1) в рассматриваемой бесконечной области D₁;

2) функция U всюду непрерывна, включая границу Г;

3), где f - заданная на Г функция;

4)U(x, y) ограничена в бесконечности, то есть существует такое число N, что

Для внешней задачи Дирихле справедлива следующая теорема.

Теорема. Решение внешней задачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных значений.

Доказательство этих утверждений следует из неравенства

(49)

Неравенство (49) выполняется для любых функций, гармонических в области D₁, непрерывных в замкнутой области и ограниченных в бесконечности.

В теории гармонических функций доказывается, что внешняя задача Дирихле всегда разрешима, если граничная функция f(s) - непрерывная, а кривая Г - достаточно гладкая.

В случае внешности круга радиуса R с центром в точке О решение задачи Дирихле задается в виде интегральной формулы Пуассона

(50)

Формула (50) очень похожа на (47), только сейчас (при ρ > R) в ядре Пуассона величины ρ и R поменялись местами. В остальном ядро Пуассона здесь обладает теми же свойствами, как и для круга.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле для полуплоскости у > 0. Пусть на границе Г, то есть на прямой у = 0, задано условие Поскольку функция Грина для полуплоскости известна (см. лекцию 9), нетрудно получить соответствующую интегральную формулу Пуассона. Для этого вычислим Функция где Поэтому

Если у = 0, то После подстановки производной в формулу (45) решение U (x_o, y_o) запишется в виде

(51)

Формула (51) называется интегральной формулой Пуассона для полуплоскости. Она содержит несобственный интеграл, для сходимости которого надо налагать дополнительные условия на граничную функцию f(x). Например, достаточно, чтобы граничная функция была ограниченной на бесконечности. При выводе формул (50), (51) используют формулу (45), предварительно обобщенную на случай неограниченных областей. Функция называется ядром Пуассона для полуплоскости. Она обладает свойствами, аналогичными свойствам ядра Пуассона для круга. В частности,