Лекция 10. Метод функций Грина решения задачи Дирихле

Метод функций Грина решения задачи Дирихле основывается на формулах Грина. На плоскости эта формула имеет следующий вид: если функции U = U(x,y) и V = V(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка в ограниченной области D и непрерывны в замкнутой области , то

где

- производные по направлению внешней нормали к D, а кривая Г - положительно ориентирована (то есть направление интегрирования таково, что область D при интегрировании остается слева). Из этой формулы легко выводится обобщенная формула Грина

(43)

где С - замкнутая кривая, лежащая внутри кривой Г,а D - область, заключенная между Г и С (см. рис. 20). Кривая С также положительно ориентирована, а n₁ - направление внешней нормали к D.

Рис. 20

Аналогичная формула имеется и в случае пространства, однако мы ее не приводим, поскольку в дальнейшем метод функций Грина подробно излагается только для плоских областей. Для искомой гармонической функции U , удовлетворяющей условию Дирихле , и функции V = G(P, P_o) - функции Грина - формула (43) будет иметь вид:

(44)

где С - окружность радиуса ε с центром в точке P_o (см. рис.20). Остальные слагаемые в данном случае будут равны нулю, так как

в D. Вычислим интеграл

Для этого введем полярные координаты (r, φ) с полюсом в точке P_o. Тогда

на окружности C расстояние r = ε и dl = εdφ. Поэтому

Из определения функции Грина вытекает, что где g(P, P_o) - гармоническая функция всюду в области D. Это означает, что g(P, P_o) и ее производная по нормали n₁ ограничены в D, следовательно

Кроме того, функция U и ее производная - также ограничены в D. Поэтому

где α(ε) и β(ε) - ограниченные величины при

Переходя к пределу при , получим

Таким образом, из формулы (44) с учетом граничного условия вытекает

(45)

Эта формула дает решение задачи Дирихле для ограниченной области на плоскости, если известна функция Грина G.

В пространстве доказывается аналогичная формула, дающая интегральное представление решения задачи Дирихле, если известна соответствующая функция Грина. Она имеет вид

где Г - положительно ориентированная поверхность, ограничивающая область D в пространстве, и ,f(s) - граничные значения гармонической функции.

Замечание. Метод функций Грина позволяет получать решения многих задач в областях различной формы. Однако для каждой области (а точнее, для каждого оператора, стоящего в левой части граничного условия) и для каждого уравнения нужно находить свою функцию Грина, что является часто непростой задачей. В том случае, когда функция Грина известна, например, для круга, шара или других простых областей (см. лекцию 9), решение соответствующей задачи выводится несложными вычислениями.

С помощью формулы (45) легко получается интегральная формула Пуассона для круга. Для этого нужно вычислить производную функции Грина для круга. Рассмотрим сначала круг радиуса R с центром в начале координат (см. рис.17). Функция G(P, P_o) для этого круга имеет вид (формула 42):

Так как направление внешней нормали к Г совпадает с направлением полярного радиуса ρ , то

На границе Г расстояние поэтому

Подставим полученное выражение для производной в формулу (45):

(46)

Так как точка может быть произвольной внутри круга, обозначим ее координаты через - полярная система координат с полюсом в точке О. Тогда окончательно формула (46) примет вид:

(47)

Из формулы (47) нетрудно получить интегральную формулу Пуассона для произвольного круга радиуса R с центром (х_о , у_о). Для этого преобразуем данный круг с помощью замены переменных в круг того же радиуса, но с центром в начале координат, запишем для него формулу (47), а затем вернемся к прежним переменным. В результате будем иметь формулу

Функция называется ядром Пуассона для круга. Отметим некоторые свойства ядра Пуассона.
1. Ядро Пуассона положительно при ρ < R, при ρ = R оно всюду равно нулю, кроме точки α = φ. Вблизи точки оно неограничено.

2. Если точка меняется внутри круга, то ядро Пуассона есть гармоническая функция от (x, у).

3. При ρ < R справедлива формула

(48)

Свойство 1 очевидно, так как . На луче α = φ ядро Пуассона имеет вид

Свойства 2 и З проверяются непосредственно с помощью вычислений. Однако свойство 3 можно доказать и более красивым способом. А именно, если рассмотреть задачу Дирихле в круге радиуса R с граничным условием , то решение такой задачи определяется формулой Пуассона (47):

С другой стороны, функция также является решением задачи Дирихле в круге с тем же граничным условием. В силу единственности решения задачи Дирихле получаем равенство (48).