Лекция 5. Обоснование метода Фурье

Оценка коэффициентов Фурье.
Почленное дифференцирование рядов Фурье.

Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом T=2π. Предположим, что ее можно представить в виде ряда Фурье

где коэффициенты вычисляются по формулам

Теорема 1. Пусть f(x) - периодическая функция с периодом T=2π. Пусть существует f ^(k)(x) - непрерывная для любого x; и выполняется оценка . Тогда коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам

Доказательство. Формулы для коэффициентов Фурье проинтегрируем по частям:

следовательно,

При k≥2 формулы для коэффицентов Фурье последовательно интегрируем по частям k раз и используем свойство периодичности функций f ^(s)(-π)=f ^(s)(π) для любого s < k.

Оценка для коэффициентов b_n получается аналогично.

Теорема 2. Если коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам

то сумма ряда Фурье f(x) - непрерывная периодическая функция с периодом T=2π, которая имеет производную f ^(k-2)(x) - непрерывную, и f ^(k-2) (x) может быть получена почленным дифференцированием ряда (k-2) раз.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, если ряд Фурье

мажорируется сходящимся числовым рядом

то ряд Фурье сходится равномерно для любого x, сумма ряда f(x) - непрерывная периодическая функция. Формально продифференцируем ряд Фурье (k-2) раз

(Знаки и вид тригонометрических множителей зависят от порядка производной).

Полученный ряд мажорируется числовым рядом

Следовательно, ряд из производных (k-2) порядка равномерно сходится. Поэтому его можно почленно дифференцировать и производная f^(k-2)(x) получается дифференцированием (k-2) раза ряда Фурье.

Замечание. В случае тригонометрических рядов для периодических функций с периодом T=2l также справедливы теоремы 1 и 2.

Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Теорема 3. Если φС²[0,l];ψC¹[0,l] и φ, φ”, ψ обращаются в нуль в точках x=0 и x=l,то ряд

(21)

c коэффициентами

сходится равномерно в полуполосе 0 ≤ x ≤ l, t ≥0, к функции U(x,t)C², удовлетворяющей волновому уравнению, краевым условиям U(0,t) = U(l,t) = 0 и начальным условиям U(x,0) = φ(x); U_t(x,0) = ψ(x).

Доказательство теоремы проведем при более сильных условиях на функции φ(x) и ψ(x). Пусть φ(x)C⁴[0,l], ψ(x) C³[0,l]; φ(x) и ψ(x) и их производные соответствующих порядков обращаются в нуль в точках x=0 и x=l.

Тогда φ(x) и ψ(x) продолжаются нечетным образом на [-l,0] и далее периодически при всех x. Причем φ(x)C⁴(R), ψ(x) C³(R). В этом случае по теореме 1 коэффициенты Следовательно, в силу теоремы 2, ряд (21) сходится равномерно к функции U(x,t) C², допускает почленное дифференцирование по x и по t два раза, является решением волнового уравнения и удовлетворяет краевым и начальным условиям.

Единственность решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Теорема 4. Возможно только одно решение волнового уравнения, удовлетворяющее краевым условиями начальным условиям

Доказательство. Допустим, что задача может иметь два различных решения Тогда функция удовлетворяет уравнению

однородным краевым и начальным условиям

Докажем, что в этом случае .

Введём функцию

Покажем, что функция

не зависит от переменной t. В самом деле, дифференцируя

, получим

В нашем случае дифференцирование можно проводить под знаком интеграла, так как по условию .
Интегрируя по частям первое слагаемое в правой части, будем иметь

(21*)

Из краевых условий следует, что внеинтегральный член в (21*) равен нулю:

Второе слагаемое в правой части (21*) в силу уравнения преобразуется к виду

Поэтому производная и, следовательно, .

Учитывая нулевые начальные условия, получим

отсюда следует, что,

то есть

. В силу нулевого первого начального условия функция

. Это означает, что

Получили противоречие.

Замечание. Функция в случае задачи о колебании струны представляет собой полную энергию струны в момент времени t.

Существование решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема 5. Если φC²[0,l] , функции φ и φ" обращаются в нуль в точках x=0 и x=l, то ряд

(22)

с коэффициентами

сходится равномерно в полуполосе 0 ≤ x ≤l; t ≥ 0 к решению уравнения теплопроводности, удолетворяет краевым условиям U(0,t) = U(l,t) = 0 и начальному условию U(x,0) = φ(x).

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3.

Эту теорему можно обобщить на случай, когда φ(x) не обладает такими хорошими свойствами.

Теорема 6. Пусть φ(x) непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную при x[0,l], φ(0) = φ(l)=0. Тогда ряд (22) сходится абсолютно и равномерно в области 0≤x≤l, t ≥ 0 и удовлетворяет начальному условию U(x,0) = φ(x) и граничным условиям первого рода. В открытой области 0 < x <l, t >0 функция U(x,t) имеет непрерывные частные производные U_xx и U_t и удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Замечания.
1) Обоснование метода Фурье впервые было дано В.А. Стекловым в работе "Основные задачи математической физики", Петроград, 1922г.
2) В специальных дисциплинах возникают задачи, имеющие негладкие начальные и граничные условия. В этом случае методом Фурье удается найти обобщенное решение. Подробнее об этом можно ознакомиться в книге И.Г.Петровского "Лекции об уравнениях с частными производными".
3) Единственность решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности вытекает из принципа максимума, который доказан далее.

Принцип максимума.

Рассмотрим функцию U(x,t) в области (см. рис. 7).

Рис. 7

Теорема 7. Пусть функция U(x,t) - непрерывная в облатсти и удовлетворяет уравнению теплопроводности в Тогда

(22*)

Доказательство. Обозначим через m максимум значений U(x,t) на Γ и предположим, что свое наибольшее значение функция U(x,t) принимает во внутренней точке т.е. Составим вспомогательную функцию

Так как значение V(x₀ ,t₀ ) = U(x₀ ,t₀ ) = M и на границе Γ выполняются неравенства

то найдется такая внутренняя точка области

в которой функция V принимает свое наибольшее значение. В этой точке будут выполняться условия V_x = 0, V_t≥0, V_xx≤0. С другой стороны

Из этих условий вытекает, что в той же точке будет

Следовательно мы приходим к противоречию с тем, что U(x,t) - решение уравнения теплопроводности. Таким образом правая часть формулы (22*) доказана.

Для доказательства левой части формулы (22*) достаточно рассмотреть функцию –U(x,t) и применить только что доказанный результат.

Из принципа максимума легко доказать единственность решения первой начально-краевой задачи.

Теорема 8. Пусть функции U₁(x,t) и U₂(x,t) - непрерывные в области , являются решениями уравнения теплопроводности в удолетворяют однородным граничным условию U(0,t) = U(l,t) = 0 и начальному условию U(x,0) = φ(x). Тогда U₁(x,t) ≡ U₂(x,t).