Метод характеристик

Распространение волн

Рассмотрим функцию $ u_1(x,t)=f(x-at).$ Изобразим график этой функции в различные моменты времени $ t=0,\,t=t_1$ и $ t=t_2\,\,(0<t_1<t_2)$ (рис. 3).

Рисунок 3Бегущая волна
\includegraphics[width=0.8\textwidth, height=0.3\textwidth, angle=0]{ris16.bmp}

Видно, что функция $ u_1(x,t)$ представляет собой неизменный профиль $ f(x)$, перемещающийся вправо в положительном направлении оси $ Ox$с конечной скоростью, равной $ a$. При этом отклонение в точке $ x_2$повторяет отклонение в точке $ x_1$ лишь со сдвигом по времени на время запаздывания $ \tau=(x_2-x_1)/a$.

В подвижной системе координат, движущейся в право со скоростью $ a$, наблюдатель будет видеть все время один и тот же как бызастывший профиль струны.

Такой процесс распространения отклонений (возмущений) вструне представляет собой волновой процесс. При этом волну, бегущую с постоянной скоростью $ a$ вправо вдоль оси $ Ox$ назовем прямой бегущей волной.

Наглядное изображение такого волнового процесса можно получить, вводя плоскость состояний (фазовую плоскость) $ (x,t)$ и описывая исследуемый процесс в верхней полуплоскости $ t>0$ (рис. 4).

Рисунок 4Плоскость состояний
\includegraphics[width=0.5\textwidth, height=0.5466666\textwidth, angle=0]{ris4sam.bmp}

Рисунок 5Фронты прямой (а) и обратной (б) волн
\includegraphics[width=0.437999\textwidth, height=0.27\textwidth, angle=0]{ris17.bmp} \includegraphics[width=0.437999\textwidth, height=0.250284\textwidth, angle=0]{ris18.bmp}
a                             б

Функция $ u_1(x,t)$ сохраняет постоянные значения на линиях $ x-at=const$ плоскости $ (x,t)$ (рис. 5 а),которые являются характеристиками волнового уравнения ( 1).

Предположим теперь, что функция $ f(x)$ отлична от нуля лишь в интервале $ x_1<x<x_2$ и равна нулю вне этого интервала. Функцию такого вида называют финитной, а отрезок $ [x_1,x_2]$ - носителемэтой финитной функции.

Для этого случая на плоскости состояний проведем через точки $ (x_1,0)$ и $ (x_2,0)$ характеристики $ x-at=x_1$ и $ x-at=x_2$. Они разбивают полуплоскость $ t>0$ на три области. В области $ I$функция $ u_1(x,t)=f(x-at)$ отлична от нуля, причем характеристики $ x-at=x_1$ и $ x-at=x_2$ выделяют передний и задний фронтыраспространяющейся направо волны, так как на плоскости состояний они отделяют область возмущений $ I$ от невозмущенных областей $ II$, $ III$, где функция $ u_1(x,t)$ равна нулю.

Аналогично функция $ u_2(x,t)=f(x+at)$ представляет собой волну, распространяющуюся с постоянной скоростью $ a$ влево в отрицательном направлении оси $ Ox$. Такую волну назовем обратной бегущей волной. Две характеристики $ x+at=x_1$ и $ x+at=x_2$ проходящие через точки $ (x_1,0)$ и $ (x_2,0)$выделяют фронты обратной волны (рис. 5 б).

Наверх К началу К оглавлению

Распространение волн отклонения

Пусть в задаче ( 1),( 2) $ \psi(x)=0$, т.е. струна колеблется тольков результате начального отклонения, форма которого определяется функцией $ \varphi(x)$. Решение ( 6) принимает в этомслучае простой вид:

$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2}\left[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)\right].$ (17)

Рисунок 6Волны отклонения
\includegraphics[width=0.35\textwidth, height=0.67307688\textwidth, angle=0]{ris6aram.bmp}

Из предыдущих рассуждений видно, что решение ( 17) задачи ораспространении волн отклонения представляет собой суперпозицию(наложение) прямой и обратной бегущих волн, профиль которых с точностью до множителя, равного $ \frac{1}{2}$, совпадает с профилемначального распределения отклонений струны.

Рассмотрим, например, случай, когда $ \varphi(x)$ отлична от нуля на интервале $ [-l,l]$ и четна. На рисунке 6 показаны профили струны в различныемоменты времени (Пунктиром показаны прямая и обратнаяволны в области их наложения). В начальный момент временипрофили обеих волн совпадают. До тех пор, пока $ t<\frac{l}{a}$, есть участок, где волны накладываются друг на друга, начиная с момента $ t=\frac{l}{a}$ эти волныуже не накладываются и расходятся в разные стороны.

Рисунок 7
\includegraphics[width=0.6\textwidth, height=0.270142180125\textwidth, angle=0]{ris7aram.bmp}

Очень наглядное изображение описанного процесса можно получить нафазовой плоскости, если провести на ней характеристики для прямой и обратной волн через точки $ (l,0)$ и $ (-l,0)$ (см. рис 7).

Точки этих характеристик соответствуют положениям переднего изаднего фронтов обеих волн в различные моменты времени.Полуплоскость разбивается ими на 6 частей. Колебание происходиттолько в тех точках и в те моменты времени, которые соответствуютточкам зон I, II и III. В зоне II действует только прямая волна, взоне III - только обратная, а в зоне I и та и другая. В точках,соответствующих зонам IV и V, колебаний еще нет, так как до них недошел передний фронт прямой (зона IV) и обратной (зона V) волн, а вточках, соответствующих зоне VI, колебания уже нет, так как черезних задние фронты обеих волн уже прошли.

Наверх К началу К оглавлению

Распространение волн импульса

Пусть теперь в задаче Коши ( 1),( 2) $ \varphi(x)=0$, аструна колеблется в результате сообщения ее частицам в начальныймомент времени импульса (скорости).

Решение Даламбера ( 6) в этом случае запишется в виде

$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi(\theta)\,d\theta$ (18)

Покажем, что и это решение представляет собой суперпозицию двухбегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях со скоростью $ a$. Для этого введем функцию

$\displaystyle \Psi(x)=\frac{1}{a}\int\limits_{x_0}^{x}\psi(\theta)\,d\theta,$

являющуюся с точностью до постоянного множителя первообразной для начального распределения скоростей $ \psi(x)$.

Тогда формуле ( 18) можно придать вид

$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2}\left[\Psi(x+at)-\Psi(x-at)\right].$

Такая форма решения показывает, что и в случае сообщения частицамструны начального импульса колебания распространяются в виде суперпозиции прямой $ u_1(x,t)=-\Psi(x-at)$ и обратной $ u_2(x,t)=\Psi(x+at)$ бегущих волн. Форма первой из них в начальный момент $ t=0$ имеет вид $ u_1(x,0)=-\Psi(x)$, а второй - $ u_2(x,0)=\Psi(x)$. В сумме получаем $ u(x,0)=0$, чего и следовалоожидать.

Чтобы наглядно представить себе картину процесса, для простоты будем считать, что $ \psi(x)$ четна и равна нулю всюду вне интервала $ (-l,l)$ (рис. 8). Функция $ \Psi(x)$ в этом случае будет выглядеть так (см. рис.  8)

$\displaystyle \Psi(x)=\frac{1}{a}\int\limits_{0}^{x}\psi(\theta)\,d\theta= \beg... ...int\limits_{0}^{l}\psi(\theta)\,d\theta=h=const,& x\in(l,+\infty)\\ \end{cases}$ (19)

На рисунке 9 показаны профили струны и графики $ u_1(x,t)$и $ u_2(x,t)$ (пунктирные линии) в различные моменты времени.

Как и в предыдущем случае,изобразим ход колебаний на фазовой плоскости (см. рис  10). Пользуясь выражением ( 19) для функции $ \Psi(x)$, получаем, что в зонах II, IV и VI отклонение обратной волны постоянно и равно $ \frac{h}{2}$, а в точках зон III,Vи VI такое же отклонение имеет прямая волна, поэтому зона VIпредставляет собой зону остаточного смещения, в точках, ейсоответствующих, функция
$ u(x,t)=\frac{1}{2}(\Psi(x+at)-\Psi(x-at))=h$. В зоне IV прямая волна имеет отклонение $ -\frac{h}{2}$, такое же отклонение в зоне Vимеет обратная волна. Поэтому обе этих зоны являются зонами покояточек струны.
Рис. 8:
Рис. 9:
Рис. 10:
Наверх К началу К оглавлению

Метод характеристик

Для определения отклонения $ u(x_0,t_0)$ в некоторой точке струны с координатой $ x_0$ в момент времени $ t_0$ в общемслучае распространения волн отклонения и волн импульса на плоскости состояний $ (x,t)$ построим треугольник (рис. 11), проведя через точку $ M_0(x_0,t_0)$ две характеристики $ x\pm at=const$, которые пересекут ось $ Ox$в точках $ M_1$ и $ M_2$ с абсциссами $ x_1=x_0-at_0$ и $ x_2=x_0+at_0$. Такой треугольник $ M_1M_0M_2$ назовемхарактеристическим треугольником.

Рисунок 11:
\includegraphics[width=0.5533333\textwidth, height=0.3\textwidth, angle=0]{ris19.bmp}

Из формулы Даламбера ( 6) следует, что отклонение точки струны с координатой $ x_0$ в момент времени $ t_0$ определяется только значениями начального отклонения в вершинах $ M_1$ и $ M_2$характеристического треугольника и значениями начальной скорости частиц струны, расположенных на основании $ M_1M_2$ этого треугольника. Действительно, формула ( 6) при $ x=x_0$ и $ t=t_0$ дает (такая запись не совсем корректна, зато весьманаглядна)

$\displaystyle u(M_0)=\frac{1}{2}\left[\varphi(M_1)+\varphi(M_2)\right]+\frac{1}{2a}\int\limits_{M_1}^{M_2}\psi(\theta)\,d\theta.$

Это свойство решения задачи Коши ( 1),( 2)обусловлено конечной скоростью распространения возмущений впроцессах, описываемых волновым уравнением (уравнением гиперболического типа).

Наверх К началу К оглавлению

Хостинг от uCoz