Обобщенные решения уравнения колебаний

Физические задачи далеко не всегда приводят к начальным условиям, достаточно гладким для того, чтобы формула Даламбера давала классическое (дифференцируемое два раза) решение задачи (1), (2). В этом случае полезным оказывается понятие так называемого "обобщенного решения" уравнения (1). Различных определений обобщенного решения существует несколько. Мы рассмотрим три из них.

Наверх

К началу

К оглавлению

Определение обобщенных решений уравнения колебаний через интегральные тождества

Определение 2

$$A:=\{\eta:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}\vert\,\,\exists\Omega_\eta\subset\mathbb{R}^2:\,\, 1)\Omega_\eta-$$

$$2)\eta \Omega_\eta$$

$$\,\,\,\,\,\,$$

$$3)\eta(x,t)=0, (x,t)\not\in\Omega_\eta\}$$

Определение 3 Функция $u(x,t)$ называется обобщенным решением уравнения  (1), если

$$\forall\,\,\,\eta\in A\,\,\,\exists\,\iint\limits_{\Omega_\eta}u(x,t)\left[\eta_{tt}(x,t)-a^2\eta_{xx}(x,t)\right]\,dxdt=0$$

Покажем, что классические решения уравнения (1) удовлетворяют определению 3.

Лемма 1   Пусть $u(x,t)$ - дважды непрерывно дифференцируемая функция. $u(x,t)$ является решением (1) тогда и только тогда, когда

$$\forall\,\,\,\eta\in A\,\,\,\exists\,\iint\limits_{\Omega_\eta}\eta(x,t)\left[u_{tt}(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)\right]\,dxdt=0$$ (13)

$\blacktriangleleft$

$(\Rightarrow)$ $u(x,t)$ - решение (1) $\Rightarrow\,\,\forall(x,t)\,\,\,u_{tt}(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)=0$ $\Rightarrow$ (13) выполняется.

$(\Leftarrow)$ Пусть $w(x,t)=u_{tt}(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)\neq0$ в какой-нибудь точке $(x_0,t_0)$.
$u(x,t)$ - дважды непрерывно дифференцируемая функция $\Rightarrow$ $w(x,t)$ - непрерывная функция $\Rightarrow$ $w(x,t)\neq0$ и сохраняет знак в некоторой окрестности $U$ точки $(x_0,t_0)$. Выберем функцию $\eta_U(x,t)\in A:\,(\eta_U(x,t)>0,(x,t)\in U)\wedge((x,t)\not\in U\Rightarrow\eta_U(x,t)=0)$. Для этой функции (13), очевидно, не выполняется. Мы пришли к противоречию, значит $\forall(x,t)\,w(x,t)=u_{tt}(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)=0$ $\blacktriangleright$

Теорема 6   Дважды непрерывно дифференцируемая функция $u(x,t)$ является решением (1) тогда и только тогда, когда

$$\forall\,\,\,\eta\in A\,\,\,\exists\,\iint\limits_{\Omega_\eta}u(x,t)\left[\eta_{tt}(x,t)-a^2\eta_{xx}(x,t)\right]\,dxdt=0$$ (14)

$\blacktriangleleft$Любая функция $\eta(x,t)\in A$ вместе со своими производными обращаются в нуль на границе соответствующей ей области $\Omega_\eta$. На этом свойстве основаны следующие преобразования:

$$\begin{multline*} \iint\limits_{\Omega_\eta}\eta(x,t) u_{tt}(x,t)\,dxdt=\int\l... ...right)dx=\iint\limits_{\Omega_\eta}\eta_{tt}(x,t) u(x,t)\,dxdt \end{multline*}$$

Аналогично можно показать, что

$$\iint\limits_{\Omega_\eta}\eta(x,t)u_{xx}(x,t)\,dxdt=\iint\limits_{\Omega_\eta}\eta_{xx}(x,t)u(x,t)\,dxdt.$$

Из леммы 1 и последних двух равенств следует утверждение доказываемой теоремы. $\blacktriangleright$

Наверх

К началу

К оглавлению

Обобщенные решения задачи Коши для уравнения колебаний, как предел последовательности классических решений

Определение 4 Функция $u(x,t)$ называется обобщенным решением задачи Коши (1), (2), если существует последовательность $\left\{u_n(x,t)\right\}_{n=1}^{\infty}$ классических решений задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями

$$\left.u_n\right\vert _{t=0}=\varphi_n(x);\,\,\,\,\,\,\,\left.\frac{\partial u_n}{\partial t}\right\vert _{t=0}=\psi_n(x),$$

таких что

$$\Bigl(\vert\vert\varphi_n(x)-\varphi(x)\vert\vert\rightarrow0\Big... ...rrow0\Bigr)\wedge\Bigl(\vert\vert u_n(x,t)-u(x,t)\vert\vert\rightarrow 0\Bigr).$$

В качестве норм используются следующие (для функций двух и одной переменной соответственно):

$$\vert\vert u(x,t)\vert\vert=\sqrt{\max_t \,\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(u(x,t))^2\,dx },$$

$$\vert\vert f(x)\vert\vert=\sqrt{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(f(x))^2\,dx}$$

Функции $u_n,\,u,\,\varphi_n,\,\varphi,\psi_n,\,\psi$ берутся только такие, для которых указанные нормы существуют.

Предельная функция для последовательности $\left\{u_n(x,t)\right\}$ уже не обязательно всюду дифференцируема (см. рис. 1 а), а может быть даже разрывна (см. рис. 1 б).

Рисунок 1

Очевидно, что классические решения, если они существуют, являются обобщенными решениями задачи (1), (2) в смысле определения 4.

Такое понятие обобщенного решения неудобно тем, что оно трудно проверяемо: чтобы убедиться, что некоторая функция $u(x,t)$ является обобщенным решением нашей задачи необходимо построить последовательность гладких решений, сходящихся к ней.

Наверх

К началу

К оглавлению

Определение обобщенных решений задачи Коши для уравнения колебаний с использованием обобщенных функций

Определения

Определение 5

$$\begin{multline*} C_0^\infty:=\biggl\{\bigl.\varphi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}... ...{1,\varphi},B_{2,\varphi})\Rightarrow\varphi(x)=0\bigr)\biggr\} \end{multline*}$$

Определение 6Введем в $C_0^\infty$ метрику следующим образом: пусть $\varphi_1, \varphi_2 \in C_0^\infty$ и $[x_1,x_2]$ - отрезок, вне которого обе эти функции обращаются в нуль, тогда

$$\rho(\varphi_1,\varphi_2)=\max\limits_{x\in[x_1,x_2]}\vert\varphi_1(x)-\varphi_2(x)\vert$$ (15)

Теорема 7   Функционал (15) является метрикой

$\blacktriangleleft$

1. Функции из $C_0^\infty$ являются непрерывными, поэтому максимум в (15) существует, значит $\rho(\varphi_1,\varphi_2)$ определена на всем $C_0^\infty \times C_0^\infty$.
2. $\forall\, \varphi_1,\varphi_2\in C_0^\infty \,\,\bigl(\rho(\varphi_1,\varphi_2)=0\bigr) \Longrightarrow \bigl(\varphi_1=\varphi_2\bigr)$ - очевидно
3. $\forall\, \varphi_1,\varphi_2\in C_0^\infty \,\,\rho(\varphi_1,\varphi_2)=\rho(\varphi_2,\varphi_1)$ - очевидно
4. Неравенство треугольника:
   $$\begin{multline*} \forall\, \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\in C_0^\infty \,\,\,... ...\vert=\\ =\rho(\varphi_1,\varphi_2)+\rho(\varphi_2,\varphi_3) \end{multline*}$$
   
   

$\blacktriangleright$

Определение 7 Под сходимостью последовательности функций $\{\varphi_n\}\subset C_0^\infty$ к некоторой $\varphi\subset C_0^\infty$ будем понимать одновременное выполнение следующих двух условий:

1. $\{\varphi_n\}\xrightarrow[\rho]{}\varphi$
2. $\exists\, [x_1,x_2]: \forall\, n\in\mathbf{N}\,\,\bigl(x\not\in(x_1,x_2)\Rightarrow\varphi_n(x)=0\bigr)$

Обозначать такую сходимость будем $\{\varphi_n\}\underset{\rho}{\rightrightarrows}\varphi$

Определение 8Обобщенной функцией называется непрерывный линейный функционал $F:C_0^\infty\mapsto\mathbb{R}$.

Здесь непрерывность функционала понимается в том смысле, что

$$\{\varphi_n\}\underset{\rho}{\rightrightarrows}\varphi\Longrightarrow\{F(\varphi_n)\}\longrightarrow F(\varphi)$$

Множество обобщенных функций будем обозначать $\mathbf{K}$.

Значение обобщенной функции $F$ на функции $\varphi\in C_0^\infty$ будем обозначать $\left<F,\varphi\right>$ или $\left<F(x),\varphi(x)\right>$. Запись $F(x)$, хотя она и не совсем корректна, подчеркивает некоторую аналогию между обобщенными функциями и функциями действительного переменного, к тому же она пригодится нам для определения операции "сдвинутой" обобщенной функции $F(x-a)$.

Определение 9Будем называть обычными функции, интегрируемые на любом конечном интервале (в частности, непрерывные функции,очевидно, являются обычными).

Покажем, что любой обычной функции $f$ можно однозначно поставить в соответствие некоторую обобщенную функцию по формуле

$$\left<F_f,\varphi\right>=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,dx.$$ (16)

Линейность (16) очевидна. Докажем непрерывность этого функционала.

$\blacktriangleleft$Действительно, пусть последовательность $\{\varphi_n\}$ функций из $C_0^\infty$ сходится к некоторой функции $\varphi\in C_0^\infty$ в смысле определения 7. Обозначим $(x_1,x_2)$ - интервал, вне которого функции $\varphi_n$ обращаются в нуль (он существует по определению 7).

$$\begin{multline*} \bigl\vert\left<F_f,\varphi_n\right>-\left<F_f,\varphi\right>... ...\varphi\vert\left\vert\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx\right\vert \end{multline*}$$

$\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}\underset{\rho}{\rightrightarrows}\varphi \Rightar... ...imits_{n\rightarrow\infty} \max\limits_{[x_1,x_2]}\vert\varphi_n-\varphi\vert=0$, а $\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx$ равен некоторой константе, значит $\max\limits_{[x_1,x_2]}\vert\varphi_n-\varphi\vert\left\vert\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx\right\vert\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0$, а отсюда следует $\bigl\vert\left<F_f,\varphi_n\right>-\left<F_f,\varphi\right>\bigr\vert\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0,$ что и требовалось доказать

$\blacktriangleright$

Теорема 8   Двум различным непрерывным функциям $f_1(x)$ и $f_2(x)$ соответствуют различные обобщенные функции, определенные формулой (16).

$\blacktriangleleft$Пусть $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$. Если $f(x)\not\equiv0$, то существует такая точка $x_0$, что $f(x_0)\not=0$. Тогда $f(x)$ сохраняет знак в некоторой окрестности $(a,b)$ точки $x_0$. Среди функций $C_0^\infty$ выберем некоторую функцию $\varphi_0$, которая обращается в 0 вне $(a,b)$ и сохраняет знак внутри $(a,b)$. Очевидно, что

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\varphi_0(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\varphi_0(x)\,dx\not=0,$$

а значит

$$\left<F_{f_1},\varphi_0\right>-\left<F_{f_2},\varphi_0\right>=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(f_1(x)-f_2(x))\varphi_0(x)\,dx\not=0.$$

$\blacktriangleright$

Можно доказать также и более общее утверждение: если двум функциям $f_1(x)$ и $f_2(x)$, интегрируемым на любом конечном отрезке, соответствует одна и та же обобщенная функция $F_f$, то эти функции совпадают везде, за исключением множества меры нуль.

Наверх

К началу

К оглавлению

Операции над обобщенными функциями

Определение 10Произведение $\alpha\cdot F$ функции $\alpha\in C_0^\infty$ на $F\in\mathbf{K}$ определим так

$$\forall\,\varphi\in C_0^\infty \,\,\left<\alpha \cdot F,\varphi\right>=\left<F,\alpha \cdot\varphi\right>$$

Определение 11Сдвинутую на число $a$ функцию $F\in\mathbf{K}$ будем обозначать $F(x-a)$ и зададим следующим образом

$$\forall\,\varphi\in C_0^\infty \,\,\left<F(x-a),\varphi(x)\right>=\left<F(x),\varphi(x-a)\right>$$

Определение 12Производная $F^{\prime}$ от обобщенной функции $F\in\mathbf{K}$ определяется следующей формулой

$$\forall\,\varphi\in C_0^\infty \,\,\left<F^{\prime},\varphi\right>=-\left<F,\varphi^{\prime}\right>$$

Замечательной особенностью обобщенных функций является существование их производных любого порядка (это обусловлено тем, что функции $\varphi\in C_0^\infty$ бесконечно дифференцируемы). Теперь, даже если какая-то обычная функция не является дифференцируемой, мы всегда можем найти производные любого порядка для соответствующей ей обобщенной функции. На этом факте и основано третье определение обобщенного решения.

Наверх

К началу

К оглавлению

Примеры обобщенных функций

Для нас будут важны две обобщенные функции.

Функция Дирака $\delta(x)$ определяется так:

$$\forall\,\varphi\in C_0^\infty \,\,\left<\delta(x),\varphi(x)\right>=\varphi(0)$$

Функция Хевисайда $H(x)$
Функция Хевисайда - обобщенная функция, соответствующая обычной функции

$$H(x)=\begin{cases} 0,&x\in[-\infty,0)\\ 1,&x\in[0,+\infty] \end{cases}$$

Легко убедиться, что $H^{\prime}(x)=\delta(x)$:

$$\begin{multline*} \forall\,\varphi\in C_0^\infty \,\,\left<H^{\prime}(x),\varphi... ...varphi})+\varphi(0)=\varphi(0)=\left<\delta(x),\varphi(x)\right> \end{multline*}$$

Наверх

К началу

К оглавлению

Нахождение обобщенных решений

Прежде всего, отметим, что обобщенные частные производные от функции двух переменных $u(x,y)$, скажем по $x$, можно понимать, как производные от обобщенной функции, соответствующей функции одного переменного $u_y(x)$, которая получается из $u(x,y)$ при любом фиксированном $y$.

Определение 13Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция $u(x,y)$, такая, что (1), (2) обращаются в тождества при подстановке этой функции в них, если под производными $u(x,y)$ понимать ее обобщенные производные.

В качестве примера рассмотрим задачу (1), (2) при

$$\varphi(x) =H(x+1)-H(x-1)\,\,\,\,\, ,$$

$$\psi(x) \equiv0$$

Рисунок 2

По формуле Даламбера (6) получаем

$$\begin{multline*} u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}=\\ =\frac{1}{2}\bigl(H(x-at+1)-H(x-at-1)+H(x+at+1)-H(x+at-1)\bigr) \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} u_t(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(-a\delta(x-at+1)+a\delta(x-at-1)+a\delta(x+at+1)-a\delta(x+at-1)\bigr) \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} u_{tt}(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(a^2\delta^{\prime}(x-at+1)-a^2\de... ...t-1)+a^2\delta^{\prime}(x+at+1)-a^2\delta^{\prime}(x+at-1)\bigr) \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} u_x(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(\delta(x-at+1)-\delta(x-at-1)+\delta(x+at+1)-\delta(x+at-1)\bigr) \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} u_{xx}(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(\delta^{\prime}(x-at+1)-\delta^{\... ...e}(x-at-1)+\delta^{\prime}(x+at+1)-\delta^{\prime}(x+at-1)\bigr) \end{multline*}$$

Видим, что полученная по формуле Даламбера функция $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2).

Аналогично можно получить решение для любых кусочно непрерывных $\varphi(x)$ и $\psi(x)$

Наверх

К началу

К оглавлению

Хостинг от uCoz