Задача Коши для волнового уравнения и ее решение

Физический смысл задачи

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны, т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обуславливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны.

Наверх

К началу

К оглавлению

Математическая постановка задачи

Нужно решить однородное уравнение колебаний

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad\quad t\in(0;+\infty),\,\,x \in (-\infty;+\infty)$$ (1)

при начальных условиях

$$\left.u\right\vert _{t=0}=\varphi(x);\,\,\,\,\,\,\,\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{t=0}=\psi(x),$$ (2)

где функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ заданы на всей числовой оси.

Задача (1), (2) называется задачей Коши для волнового уравнения.

Наверх

К началу

К оглавлению

Решение

Теорема 1   Решение уравнения (1) имеет вид

$$u(x,t)=u_1(x-at)+u_2(x+at)$$ (3)

$\blacktriangleleft$Введем новые переменные

$$\xi =x-at$$

$$\eta =x+at$$

эта замена является невырожденной:

$$\begin{vmatrix}\frac{\partial \xi}{\partial x}&\frac{\partial \xi... ...\partial t}\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-a\\ 1&a\\ \end{vmatrix}=2a\neq0.$$

Преобразуя производные к новым переменным, находим:

$$u_t =u_\xi\xi_t+u_\eta\eta_t=-a\,u_\xi+a\,u_\eta=a(u_\eta-u_\xi);$$

$$u_{tt} =a(u_{\eta\xi}\xi_t+u_{\eta\eta}\eta_t-u_{\xi\xi}\xi_t-u_{\xi\eta}\eta_t)=a^2(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta});$$

$$u_x =u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x=u_\xi+u_\eta;$$

$$u_{xx} =u_{\xi\xi}\xi_x+u_{\xi\eta}\eta_x+u_{\eta\xi}\xi_x+u_{\eta\eta}\eta_x=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}.$$

Уравнение (1) в новых переменных запишется слудующим образом:

$$a^2(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}) =a^2(u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})$$

$$u_{\xi\eta} =0.$$ (4)

Общий вид решения этого уравнения мы можем найти интегрированием:

$$\frac{\partial^2u}{\partial \xi\partial \eta}=0,$$

$$\int\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial u}{\partial \xi}\right)\,d\eta=c(\xi),$$

$$\frac{\partial u}{\partial \xi}=c(\xi),$$

где $c(\xi)$ - произвольная функция от $\xi$.

$$\int\frac{\partial u}{\partial \xi}\,d\xi=\int c(\xi)\,d\xi.$$

Пусть $\int c(\xi)\,d\xi=u_1(\xi)$

$$u(\xi,\eta)=u_1(\xi)+u_2(\eta),$$

где $u_1(\xi)$ и $u_2(\eta)$ - произвольные функции от $\xi$ и $\eta$ соответственно.

Следовательно, функция вида

$$u(x,t)=u_1(x-at)+u_2(x+at)$$ (5)

удовлетворяет уравнению (1). $\blacktriangleright$

Теорема 2   Существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), задаваемое формулой

$$u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi(\theta)\,d\theta$$ (6)

$\blacktriangleleft$По теореме 1 решение (1) имеет вид

$$u(x,t)=u_1(x-at)+u_2(x+at).$$

Определим функции $u_1$ и $u_2$ таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (2):

$$u(x,0) =u_1(x)+u_2(x)=\varphi(x),$$ (7)

$$u_t(x,0) =-au^\prime_1(x)+au^\prime_2(x)=\psi(x).$$ (8)

Интегрируя (8) в пределах от $x_0$ (константа) до $x$ получаем

$$a\left(-u_1(x)+u_1(x_0)+u_2(x)-u_2(x_0)\right)=\int\limits_{x_0}^{x}\psi(\theta)\,d\theta$$

Пусть $u_1(x_0)-u_2(x_0)=-C$, тогда

$$u_2(x)-u_1(x)=\frac{1}{a}\int\limits_{x_0}^{x}\psi(\theta)\,d\theta+C,$$ (9)

Из системы уравнений (7), (9) имеем

$$u_1(x) =\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^x\psi(\theta)\,d\theta-\frac{C}{2};$$ (10)

$$u_2(x) =\frac{1}{2}\varphi(x)+\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^x\psi(\theta)\,d\theta+\frac{C}{2}.$$ (11)

Подставляя (10) и (11) в (3), находим

$$u(x,t) =\frac{1}{2}\varphi(x-at)-\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x-at}\ps... ...c{1}{2}\varphi(x+at)+\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x+at}\psi(\theta)\,d\theta,$$

$$u(x,t) =\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits_{x... ...psi(\theta)\,d\theta+\frac{1}{2a}\int\limits_{x_0}^{x+at}\psi(\theta)\,d\theta,$$

или

$$u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi(\theta)\,d\theta$$ (12)

$\blacktriangleright$

Определение 1Формула (6) называется формулой Даламбера.

Наверх

К началу

К оглавлению

Существование и единственность решения

Теорема 3   Если функция $\varphi(x)$ имеет производные до второго порядка включительно, а функция $\psi(x)$ - до первого порядка, то существует решение задачи Коши (1),(2).

$\blacktriangleleft$При указанных условиях формула (6) определяет решение задачи, в чем нетрудно убедиться, подставив её в уравнение (1) и условия (2). $\blacktriangleright$

Теорема 4   Если решение задачи Коши (1),(2) существует, то оно единственно

$\blacktriangleleft$Из теоремы 2 следует, что решение единственно. Действительно, если бы существовало второе решение, то оно тоже определялось бы формулой (6) и совпадало бы с первым решением. $\blacktriangleright$

Таким образом, если $\varphi(x)$ дифференцируема 2 раза, а $\psi(x)$ дифференцируема, то решение задачи Коши существует и единственно.

Наверх

К началу

К оглавлению

Непрерывная зависимость решения от начальных условий

Докажем, что решение задачи Коши для волнового уравнения меняется непрерывно при непрерывном изменении начальных условий.

Теорема 5  

$$\forall\,t_0>0\,\,\forall\, \varepsilon>0\,\,\exists \,\delta(\varepsilon,t_0):$$

$$\Bigl((\vert\varphi_1(x)-\varphi_2(x)\vert<\delta)\wedge(\vert\ps... ...igl(\forall\,\, t\in[0;t_0]\,\, \vert u_1(x,t)-u_2(x,t)\vert<\varepsilon\bigr),$$

где $u_1(x)$ - решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

$$\left.u\right\vert _{t=0}=\varphi_1(x);\,\,\,\,\,\,\,\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{t=0}=\psi_1(x),$$

$u_2(x)$ - решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

$$\left.u\right\vert _{t=0}=\varphi_2(x);\,\,\,\,\,\,\,\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{t=0}=\psi_2(x).$$

$\blacktriangleleft$Функции $u_1(x,t)$, $u_2(x,t)$ определяются соответствующими начальными условиями по формуле (6), так что

$$\begin{multline*} \vert u_1(x,t)-u_2(x,t)\vert\leqslant\frac{\vert\varphi_1(x+a... ...c{\delta}{2}+\frac{1}{2a}\,\delta\cdot2at\leqslant\delta(1+t_0) \end{multline*}$$

При $\delta=\frac{\varepsilon}{1+t_0}$ получим утверждение теоремы. $\blacktriangleright$

Наверх

К началу

К оглавлению

Хостинг от uCoz