Московский Государственный Строительный Университет
Арефьев В.Н. Лекции по "Уравнениям математической физики"

Лекция 9. Функция Грина. Примеры

В этой лекции мы будем рассматривать уравнение Лапласа в ограниченных областях D, расположенных на плоскости или в пространстве. Точки Р(х, у) и Рoo , уo ) на плоскости (или Р(х, у, z) и Рoo , уo , zo ) в пространстве) принадлежат области D и
(или
) - расстояние между точками Рo и Р.
Предположим, что на границе области D задано нулевое условие Дирихле.

Функция G(P,Po) называется функцией Грина задачи Дирихле в области D, если для любой фиксированной точки она, как функция от Р , удовлетворяет следующим условиям:

(i) непрерывная в всюду, кроме точки Po, и G(P,Po ) = 0 на границе D;
(ii) гармоническая в D за исключением точки Po;
(iii) в случае плоскости остается гармонической функцией в точке Po; в случае пространства функция остается гармонической в точке Po.

Как следует из определения, функция Грина непрерывна и гармонична всюду в области D за исключением точки Po, в которой она имеет особенность типа в плоскости или в пространстве. Функцию Грина иногда называют функцией источника.

Функция Грина G(P,Po) (если она существует) однозначно определяется свойствами (i)-(iii). Кроме того, G(P,Po)>0 в области D. Рассмотрим, к примеру, плоскую область D. Для того, чтобы доказать единственность функции Грина, предположим противное: пусть G1, и G2 - две функции, обладающие свойствами (i)-(iii) для заданных области D и точки . Тогда ( G1 — G2 ) остается гармонической в любой точке области D, включая и точку Po, поскольку вблизи точки Po можно записать

(41)

Каждая скобка в правой части (41) представляет собой функцию, гармоническую всюду в D (см. свойство (iii)), поэтому и разность ( G1 — G2 ) - функция гармоническая всюду в D. Кроме того, на границе D функция Следовательно, по принципу максимума в области D.

Далее, если D1 - часть области D, находящаяся вне малой окрестности точки Po, то, согласно условиям (i)-(iii), функция G непрерывна в гармонична в D1, и на границе D1 принимает неотрицательные значения (так как при ). Поэтому по принципу максимума в D1 причем нулевое значение внутри области D1 функция принимать не может. Это означает, что всюду в D.

Пример 1. На плоскости рассмотрим круг радиуса R с центром в начале координат. Построим функцию Грина в круге. При построении этой функции нам понадобится понятие сопряженных точек. Точки Po и Р* называются сопряженными относительно окружности, если они лежат на одном луче, исходящем из центра O окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса: (см. рис.16).



Рис. 16

Обозначим через ro =|OPo| и r* =|OP*|. Тогда ro r*=R2. Так как точки Po и Р лежат на одном луче, выходящем из начала координат, то


Возьмем функцию

  

(42)


где r =|PoP|, r1 =|PP*| (см. рис.17). Проверим, что она является функцией Грина для круга.

По теореме косинусов и , где ρ=|OP|.


Рис. 17

Воспользовавшись равенством   ro r*=R2, получим Таким образом, величины r и r1 выражаются через R, ρ, ro, φ, φo, и, в конечном счете, через R, x, y, xo, yo. Покажем, что функция G(P,Po) удовлетворяет пунктам (i)-(iii) определения. Очевидно, что функция непрерывна всюду в замкнутом круге кроме точки Ро (когда r = 0). На границе круга расстояние ρ=R и, следовательно,


Отсюда Функция G(P,Po) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое-фундаментальное решение уравнения Лапласа и,следовательно, гармоническая функция всюду, кроме точки Po. Функция является гармонической всюду в области D , так как точка Р принадлежит области, а точка Р* лежит вне области D и, следовательно, r1 >0. Гармоничность этой функции легко проверяется, если записать оператор Лапласа в полярной системе координат с полюсом в точке Р* (см.аналогичную формулу (33*) с полюсом в точке О):


Поэтому функция G(P,Po) гармоническая в области D всюду, кроме точки Ро, а разность  G(P,Po) - ln(1/r) — гармоническая и в точке Ро.

Аналогично строится функция Грина для шара радиуса R. Она имеет вид где r=|PoP| , r1=|PP*| , ro=|OPo|. Точка P*(x* , y* , z*) сопряженная точке Рoo , уo , zo ) относительно сферы радиуса R с центром в точке О, то есть . Координаты x* , y* , z* вычисляются по формулам:


Пример 2. Функцию Грина можно рассматривать не только для ограниченных, но и для неограниченных областей. В качестве примера построим функцию Грина для полуплоскости. Для этого определим точки, сопряженные относительно прямой: точки Ро и Р* называются сопряженными относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой (см. рис.18).


Рис. 18                             Рис. 19

Функция где
,
(см. рис.19), удовлетворяет свойствам (i)-(iii) в полуплоскости у > 0. В самом деле, на границе области при у = 0 расстояние r = r1, поэтому Гармоничность функции всюду в области у > 0 проверяется непосредственно вычислением частных производных:





 

Поэтому


Следовательно, функция G(P,Po) гармоническая в области у > 0 всюду, кроме точки Ро, а разность G(P,Po) - ln(1/r) гармоническая и в точке Ро.

Для полупространства z > 0 функция Грина имеет вид где  

Хостинг от uCoz